设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=_______．

admin2018-07-26 53

问题设A=(a_ij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，A_ij为a_ij的代数余子式．若a_ij+A_ij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=_______．

选项

答案－1．

解析由A≠O，不妨设a₁₁≠0，由已知的A_ij=－a_ij(i，j=1，2，3)，得

及A=－(A^*)^T，其中A^*为A的伴随矩阵．以下有两种方法：
方法1：用A^T右乘A=－(A^*)^T的两端，得
AA^T=－(A^*)A^T=－(AA^*)^T=－(|A|I)^T，
其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得
|A|²=(－1)³|A|³，或|A|²(1+|A|)=0，
因|A|≠0，所以|A|=－1．
方法2：从A=－(A^*)^T两端取行列式，并利用|A^*|=|A|²，得
|A|=(－1)³|A^*|=－|A|²，或|A|(1+|A|)=0，
因|A|≠0，所以|A|=－1．

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