2. 考研
  3. 设f’(x)=1+∫0π[-6cos 2t-f(t)]dt，且f(0)=1，计算I=∫0π［f(x)／(x+1)+f’(x)㏑(1+x)］dx

设f’(x)=1+∫0π[-6cos 2t-f(t)]dt，且f(0)=1，计算I=∫0π［f(x)／(x+1)+f’(x)㏑(1+x)］dx

admin2022-05-20  2
问题 设f’(x)=1+∫0π[-6cos 2t-f(t)]dt，且f(0)=1，计算I=∫0π［f(x)／(x+1)+f’(x)㏑(1+x)］dx
选项
答案由已知等式，知f"(x)=-6cos 2x-f(x)，且f’(0)=1．解微分方程 [*] 特征方程r2+1=0，即r=±i． 令特解f*=acos 2x+bsin 2x，代入原微分方程，得 (-4a+a)cos 2x+(-4b+b)sin 2x=-6cos 2x， 解得a=2，b=0，故原微分方程的通解为 f(x)=C1cos x+C2sin x+2cos 2x． 由f(0)=1，f’(0)=1，得C1=-1，C2=1，故 f(x)=-cos x+sin x+2cos 2x． 于是 I=∫0π[f(x)/(x+1)+f’(x)㏑(1+x)]dx =∫0πd[f(x)㏑(1+x)]=f(x)㏑(1+x)|0π=3㏑(1+π)．
解析
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考研数学三

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