设函数f(x)有任意阶导数且f’ (x)= f2 (x) ，求fn (x)．

admin2017-05-31 53

问题设函数f(x)有任意阶导数且f’ (x)= f² (x) ，求fⁿ (x)．

选项

答案将f’(x)=f²(x)两边求导得 f’’(x)=2f(x)．f’(x)=2f³(x)=2!f³(x) 再求导得 f’’’(x)=6f²(x)．f’(x)=3!f⁴(x) 用数学归纳法可证明 f⁽ⁿ⁾(x)=n!f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)．

解析关于高阶导数的计算，一般来说，很难写出f⁽ⁿ⁾(x)(n≥3)的统一公式，但可利用常见函数的n阶导数(a，b为常数)： (e^ax+b)ⁿ=aⁿe^ax+b，

[(ax+b) ^α]⁽ⁿ⁾=aⁿα(α－1) ．… ．(α－n+1)(ax+b) ^α－n，和莱布尼兹公式[f(x)g(x)] ⁽ⁿ⁾=f(x)gⁿ(x)+C_n¹f’(x)g^n－1 (x)+C_n²f’ ’ (x)g^n－2 (x)+…+C_n^n－1(x)f^n－1(x)g’ (x)+fⁿ (x)g(x)，来计算某些初等函数的n阶导数．

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