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  3. 已知P—1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是（ ）

已知P—1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是（ ）

admin2017-01-21  45
问题 已知P—1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是（     ）
选项 A、（α1一α2，α3）
B、（α1，α2+α3，α2—2α3）
C、（α1，α3，α2）
D、（α1+α2，α1—α2，α3）
答案D
解析 若P—1AP=Λ=
P=（α1，α2，α3），则有AP=PΛ，即
（Aα1，Aα2，Aα3）=（λ1α1，λ2α2，λ3α3），可见αi是矩阵A属于特征值λi（i=1，2，3）的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。
若α是属于特征值λ的特征向量，则—α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。
若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2—2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2—2α3线性无关，故选项B正确。
对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确。故选项C正确。
由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1—α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误。所以应选D。
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考研数学三

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