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  3. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使

设f(x)在[a，b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使

admin2018-12-29  49
问题 设f(x)在[a，b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使
选项
答案(1)若f(x)[*] 0，则结论显然成立； (2)设｜f(x0)｜=[*]，x0∈(a，b)，即函数f(x)在x=x0处取得最大值。又因为f(x)在[a，b]上二阶可导，则有f′(x0)=0。将函数f(x)在x=x0处展成带有拉格朗日余项的二阶泰勒展开式，即 f(x)=f(x0)+f′(x0)(x—x0)+[*](x—x0)2，η=x0+θ(x—x0)，0＜θ＜1。 由于f(a)=0，故将x=a代入上式可得 0=f(a)=f(x0)+f′(x0)(a—x0)+[*](a—x0)2， 即 [*]，a＜ξ1＜x0。 同理，有 [*]，x0＜ξ2＜b。 令[*]，则 [*] 上式中[*]，当且仅当x0=[*]时，等号成立。 故至少在一点ξ∈(a，b)使｜f″(ξ)｜≥[*]。
解析
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考研数学一

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