2. 考研
  3. 设α1=（1，3，5，—1）T，α2=（2，7，a，4）T，α3=（5，17，—1，7）T． ①若α1，α2，α3线性相关，求a． ②当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4． ③设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α

设α1=（1，3，5，—1）T，α2=（2，7，a，4）T，α3=（5，17，—1，7）T． ①若α1，α2，α3线性相关，求a． ②当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4． ③设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α

admin2019-08-11  71
问题 设α1=（1，3，5，—1）T，α2=（2，7，a，4）T，α3=（5，17，—1，7）T．
①若α1，α2，α3线性相关，求a．
②当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4．
③设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α2，α3，α4可表示任何一个4维向量．
选项
答案①α1，α2，α3线性相关，则r（α1，α2，α3）＜3． (α1，α2，α3)= [*] 得a=—3． ②与α1，α2，α3都正交的非零向量即齐次方程组 [*] 的非零解，解此方程组： [*] 解得α4=c（19，—6，0，1）T，c≠0． ③只用证明α1，α2，α3，α4线性无关，此时对任何4维向量α，有α1，α2，α3，α4，α线性相关， 从而α可以用α1，α2，α3，α4线性表示． 方法一 由①知，a=3时，α1，α2，α3线性无关，只用证明α4不能用α1，α2，α3线性表示． 用反证法，如果α4能用α1，α2，α3线性表示，设(4=c1α1+c2α2+c3α3，则 (α4，α4)=(α4，c1α1+c2α2+c3α3)=c1(α4，α1)+c2(α4，α2)+c3(α4，α3) =0． 得α4=0，与α4是非零向量矛盾． 方法二 计算行列式 | α1，α2，α3，α4| [*] 于是α1，α2，α3，α4线性无关．
解析
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考研数学三

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