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admin
2022-10-09
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考研数学三
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设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成是Ax=0的解向量．求A；
设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成是Ax=0的解向量．求所用的正交变换x=Cy；
已知A是3阶的实对称矩阵，α1=(1，－1，－1)T，α2=(－2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的解，又(A－6E)α=0，α≠0．求α和二次型xTAx表达式；
已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为求矩阵A；
设矩阵若向量都是方程组Ax=0的解，试证r(A)=2；
已知n维向量组α1，α2，…，αn中，前n－1个线性相关，后n-1个线性无关，若令β=α1+α2+…+αn，A=(α1，α2，…，αn)．试证方程组Axβ必有无穷多组解，且其任意解(α1，α2，…，αn)T中必有αn=1．
设4元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩r(A)=3，且它的3个解向量η1，η2，η3满足η1+η2=(2，0，－2，4)T，η1+η3=(3，1，0，5)T，则Ax=b的通解为__________．
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