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  3. 设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．

设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．

admin2019-09-27  52
问题 设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．
选项
答案二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3的矩阵形式为 f=XTAX． 其中A=[*]．因为QTAQ=B=[*]，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4． 而｜λE－A｜=λ3－(a+4)λ2+(4a－b2+2)λ+(－3a－2b+2b2+2)，所以有 λ3－(a+4)λ2+(4a－b2+2)λ+(－3a－2b+2b2+2)=(λ－1)2(λ－4)， 解得a=2，b=1．当λ1=λ2=1时，由(E－A)X=0得ξ1=[*]．λ3=4时， 由(4E－A)X=0得ξ3=[*]．显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为 [*]
解析
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考研数学一

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