设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．

admin2019-09-27 51

问题设二次型f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃经过正交变换X=QY化为标准形f=y₁²+y₂²+4y₃²，求参数a，b及正交矩阵Q．

选项

答案二次型f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃的矩阵形式为 f=X^TAX．其中A=[*]．因为Q^TAQ=B=[*]，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而｜λE－A｜=λ³－(a+4)λ²+(4a－b²+2)λ+(－3a－2b+2b²+2)，所以有 λ³－(a+4)λ²+(4a－b²+2)λ+(－3a－2b+2b²+2)=(λ－1)²(λ－4)，解得a=2，b=1．当λ₁=λ₂=1时，由(E－A)X=0得ξ₁=[*]．λ₃=4时，由(4E－A)X=0得ξ₃=[*]．显然ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，单位化为 [*]

解析

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考研数学一

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设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．

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