设函数f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)=f(1)=0,证明对实数a(0<a<1),必有ξ∈[0,t)使f(ξ+a)=f(ξ).

admin2019-12-26  46

问题 设函数f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)=f(1)=0,证明对实数a(0<a<1),必有ξ∈[0,t)使f(ξ+a)=f(ξ).

选项

答案令F(x)=f(x+a)-f(x).因为f(x)在[0,1]上非负连续,f(x+a)应在[-a,1-a]上非负连续,于是F(x)在[0,1-a]上连续. 由于F(0)=f(a)-f(0)=f(0)≥0,F(1-a)=f(1)-f(1-a)=-f(1-a)≤0. (1)若F(=)=0, 则ξ=0即为所求; (2)若F(1-a)=0,则ξ=1-a即为所求; (3)若F(0)≠0且F(1-a)≠0,则由介值定理,必存在ξ∈(0,1-a)[*](0,1),使得F(ξ)=0,即f(ξ+a)=f(ξ). 综上所述,存在ξ∈[0,1),使f(ξ+a)=f(ξ).

解析
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