2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。

设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。

admin2017-01-21  61
问题 设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。
选项
答案因为βi（i=1，2，…，s）是α1，α2，…，αs的线性组合，且α1，α2，…，αs是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知βi（i=1，2，…，s）均为Ax=0的解。 从α1，α2，…，αs是Ax=0的基础解系知s=n—r（A）。 以下分析β1，β2，…，βs线性无关的条件： 设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即 （t1k1+t2k1）α1+（t2k1+t1k2）α2+（t2k2+t1k3）α3+…+（t2ks—1+t1ks）αs=0， 由于α1，α2，…，αs线性无关，所以 [*] 又因系数矩阵的行列式 [*]=t1s+（一1）s+1t2s， 当t1s+（—1）s+1t2s≠0时，方程组（*）只有零解k1=k2=…=ks=0。因此当s为偶数且t1≠± t2，或当s为奇数且t1≠—t2时，β1，β2，…，βs线性无关。
解析
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考研数学三

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