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设三元二次型χTAχ经正交变换化为标准形5y12-y22-y32,若Aα=5α,其中α=(1,1,1)T,求此二次型的表达式.
设三元二次型χTAχ经正交变换化为标准形5y12-y22-y32,若Aα=5α,其中α=(1,1,1)T,求此二次型的表达式.
admin
2018-06-12
65
问题
设三元二次型χ
T
Aχ经正交变换化为标准形5y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
,若Aα=5α,其中α=(1,1,1)
T
,求此二次型的表达式.
选项
答案
二次型经正交变换化为标准形5y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
,知矩阵A的特征值是5,-1,-1.设λ=-1的特征向量是β=(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
,由于A是实对称矩阵,故α与β正交,则有 χ
1
+χ
2
+χ
3
=0. 解出β
1
=(-1,1,0)
T
,β
2
=(-1,0,1)
T
. 那么令P=(α,β
1
,β
2
)=[*] 则P
-1
AP=∧=[*] 于是A=P∧P
-1
[*] 所以χ
T
Aχ=χ
1
2
+χ
2
2
+χ
3
2
+4χ
1
χ
2
+4χ
2
χ
3
+4χ
3
χ
1
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/RTg4777K
0
考研数学一
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