设A=(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α3，α5线性无关，且α2=3α1-α3-α5，α4=2α1+α3+6α5，求方程组AX=0的通解．

admin2021-11-15 47

问题设A=(α₁，α₂，α₃，α₄，α₅)，其中α₁，α₃，α₅线性无关，且α₂=3α₁-α₃-α₅，α₄=2α₁+α₃+6α₅，求方程组AX=0的通解．

选项

答案因为α₁，α₃，α₅线性无关，又α₂，α₄可由α₁，α₃，α₅线性表示，所以r(A)=3，齐次线性方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量．由α₂=3α₁-α₃-α₅，α₄=2α₁+α₃+6α₅得方程组AX=0的两个解为ξ₁=(3，-1，-1，0，-1)^T，ξ₂(2，0，1，-1，6)^T，故AX=0的通解为k₁(3，-1，-1，0，-1)^T+k₂(2，0，1，-1，6)^T(k₁，k₂为任意常数)．

解析

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考研数学二

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设A是m×n矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n.证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个。
设A为n阶矩阵，A11≠0.证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.
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