设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则∫∫∫Ω(x+2y+3z)dxdydz=_____.

admin2017-10-25 184

问题设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则∫∫∫_Ω(x+2y+3z)dxdydz=_____.

选项

答案[*]

解析在直角坐标系中将三重积分化为三次积分计算．
利用轮换对称性，知

，于是

(x+2y+3z)dxdydz=

xdxdydz=6∫₀¹xdx∫₀^1-xdy∫₀^1-x-ydz
=∫₀¹xdx∫₀^1-x(1-x-y)dy=3∫₀¹(x-2x²+x³)dx

故应填

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