(2009年)设曲线Y=f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)＞0．已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．

admin2021-01-25 91

问题 (2009年)设曲线Y=f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)＞0．已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．

选项

答案由题设可知旋转体体积为 V=π∫₁^tf²(x)如曲边梯形的面积为 S=∫₁^tf(x)dx 由题设可知，π∫₁^tf²(x)dx=πt∫₁^tf(x)dx 即 ∫₁^tf²(x)dx=t∫₁^tf(x)dx 上式两端对t求导得 f²(t)=∫₁^tf(x)dx+tf(t) (*) 继续求导得 2f(t)f’(t)=f(t)+f(t)+tf’(t) [*] 在(*)式中令t=1得f²(1)=f(1)，即f(1)=1或f(1)=0．而由题设知f(t)＞1，则f(1)=1，代入 [*] 则所求曲线方程为 [*]

解析

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考研数学三

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(2009年)设曲线Y=f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)＞0．已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．

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