首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设α为n维列向量,且A=E-ααT. (Ⅰ)证明:A2=A的充分必要条件是α为单位向量; (Ⅱ)若α为单位向量,求齐次线性方程组AX=0的通解; (Ⅲ)若α为单位向量,求矩阵A的特征值,判断A是否可相似对角化.
设α为n维列向量,且A=E-ααT. (Ⅰ)证明:A2=A的充分必要条件是α为单位向量; (Ⅱ)若α为单位向量,求齐次线性方程组AX=0的通解; (Ⅲ)若α为单位向量,求矩阵A的特征值,判断A是否可相似对角化.
admin
2021-03-18
46
问题
设α为n维列向量,且A=E-αα
T
.
(Ⅰ)证明:A
2
=A的充分必要条件是α为单位向量;
(Ⅱ)若α为单位向量,求齐次线性方程组AX=0的通解;
(Ⅲ)若α为单位向量,求矩阵A的特征值,判断A是否可相似对角化.
选项
答案
(Ⅰ)A
2
=(E-αα
T
)(E-αα
T
)=E-2αα
T
+αα
T
·αα
T
, 令α
T
·α=k,则A
2
=E-(2-k)αα
T
, 故A
2
=A的充分必要条件是k=1,即α为单位向量; (Ⅱ)由α为单位向量得A
2
=A,或A(E-A)=0, 则r(A)+r(E-A)≤n, 再由r(A)+r(E-A)≥r(E)=n得r(A)+r(E-A)=n, 而E-A=αα
T
,从而r(E-A)=r(αα
T
)=r(α)=1,于是r(A)=n-1, 方程组AX=0的基础解系含一个线性无关的解向量, 再由Aa=(E-αα
T
)α=α-α=0得α为AX=0的基础解系, 故AX=0的通解为X=ια(其中ι为任意常数). (Ⅲ)令α=[*] 由B
2
=B得B的特征值为0,1, 再由tr(B)=α
1
2
+α
2
2
+…+α
n
2
=α
T
α=1得 B的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=0,λ
n
=1, 故A的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=1,λ
n
=0. 因为A
T
=A,所以A可相似对角化.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Roy4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
已知当x→0时,一1与cosx一1是等价无穷小,则常数a=_______.
设则(A-1)*=_________.
方程组有解的充要条件是______________.
设函数f(u)可微,且f’(2)=2,则z=f(x2+y2)在点(1,1)处的全微分dz|(1,1)=_________.
,方程Ax=β无解,则a=________。
已知向量α=的逆矩阵的特征向量,则k=________。
设曲线的参数方程为的曲线段的弧长S=_____________.
设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:|A*|=|A|n一1。
为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥提出井口,设井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗盛污泥2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/S的速度从抓斗中漏掉,现将抓斗从井底提升到井口,问克服重力做功多少?
随机试题
清代对于州县一级审理民事案件、轻微刑事案件等自理案件规定了审理期限,为()。
在Word2003的“文件”下拉菜单的下部,通常会列出若干文件,这些文件是_______。
肛门狭窄的处理中,以下哪一项是错误的:
可以翻转肾上腺素升压作用的是
以下哪项检查有助于诊断若需进行触诊检查,则应该
DNA的一级结构是
外敷能刺激皮肤,引起发泡,故皮肤过敏者应慎用有毒,不可过量服用,咳痰不利者慎服
农民集体所有的土地由农村集体经济组织或者( )经营管理。
下列程序的运行结果是______。#defineP(a)printf("%d",a)main(){intj,a[]={1,2,3,4,5,6,7},i=5;
Whatdoestheword"cheer"(Line2,Para.1)imply?HumansonEarthtodayarecharacterizedby______.
最新回复
(
0
)