2. 考研
  3. 设α为n维列向量，且A＝E－ααT． (Ⅰ)证明：A2＝A的充分必要条件是α为单位向量； (Ⅱ)若α为单位向量，求齐次线性方程组AX＝0的通解； (Ⅲ)若α为单位向量，求矩阵A的特征值，判断A是否可相似对角化．

设α为n维列向量，且A＝E－ααT． (Ⅰ)证明：A2＝A的充分必要条件是α为单位向量； (Ⅱ)若α为单位向量，求齐次线性方程组AX＝0的通解； (Ⅲ)若α为单位向量，求矩阵A的特征值，判断A是否可相似对角化．

admin2021-03-18  35
问题 设α为n维列向量，且A＝E－ααT．
(Ⅰ)证明：A2＝A的充分必要条件是α为单位向量；
(Ⅱ)若α为单位向量，求齐次线性方程组AX＝0的通解；
(Ⅲ)若α为单位向量，求矩阵A的特征值，判断A是否可相似对角化．
选项
答案(Ⅰ)A2＝(E－ααT)(E－ααT)＝E－2ααT＋ααT·ααT， 令αT·α＝k，则A2＝E－(2－k)ααT， 故A2＝A的充分必要条件是k＝1，即α为单位向量； (Ⅱ)由α为单位向量得A2＝A，或A(E－A)＝0， 则r(A)＋r(E－A)≤n， 再由r(A)＋r(E－A)≥r(E)＝n得r(A)＋r(E－A)＝n， 而E－A＝ααT，从而r(E－A)＝r(ααT)＝r(α)＝1，于是r(A)＝n－1， 方程组AX＝0的基础解系含一个线性无关的解向量， 再由Aa＝(E－ααT)α＝α－α＝0得α为AX＝0的基础解系， 故AX＝0的通解为X＝ια(其中ι为任意常数)． (Ⅲ)令α＝[*] 由B2＝B得B的特征值为0，1， 再由tr(B)＝α12＋α22＋…＋αn2＝αTα＝1得 B的特征值为λ1＝λ2＝…＝λn－1＝0，λn＝1， 故A的特征值为λ1＝λ2＝…＝λn－1＝1，λn＝0． 因为AT＝A，所以A可相似对角化．
解析
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考研数学二

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