已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解。 (Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2； (Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解。

admin2018-11-22 42

问题已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解。
(Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2；
(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解。

选项

答案(Ⅰ)设α₁，α₂，α₃是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中 [*] 则有A(α₁-α₂)=0，A(α₁-α₃)=0，即α₁-α₂，α₁-α₃是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关。(否则，易推出α₁，α₂，α₃线性相关，与假设矛盾。) 所以有n-R(A)≥2，即4-R(A)≥2[*]R(A)≤2。又矩阵A中的一个2阶子式[*]=-1≠0，所以R(A)≥2。因此R(A)=2。 (Ⅱ)对矩阵A作初等行度换，即 [*] 又R(A)=2，则 [*] 对原方程组的增广矩阵[*]作初等行变换， [*] 故原方程组的同解方程组为 [*] 选x₃，x₄为自由变量，则 [*] 故所求通解为x=k₁[*]+k₂[*]，k₁，k₂为任意常数。

解析

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考研数学一

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