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设A是一个n阶矩阵,先交换A的第i列与第j列,然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B,则下列五个关系: (1)|A|=|B|; (2)r(A)=r(B); (3)AB; (4)A~B; (5)AB 中正确的有( )。
设A是一个n阶矩阵,先交换A的第i列与第j列,然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B,则下列五个关系: (1)|A|=|B|; (2)r(A)=r(B); (3)AB; (4)A~B; (5)AB 中正确的有( )。
admin
2020-04-22
33
问题
设A是一个n阶矩阵,先交换A的第i列与第j列,然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B,则下列五个关系:
(1)|A|=|B|; (2)r(A)=r(B); (3)A
B; (4)A~B; (5)A
B
中正确的有( )。
选项
A、(1),(2)
B、(1),(2),(3)
C、(1),(3),(5)
D、(1),(2),(3),(4),(5)
答案
D
解析
解 由题设有E
ij
AE
ij
=B,E
ij
有些什么性质呢?
(1)|E
ij
|=-1,因而|E
ij
||E
ij
|=1,故
|E
ij
||A||E
ij
|=|B|, 即 |A|=|B|。
(2)因|E
ij
|≠0,故E
ij
可逆,所以r(E
ij
A)=r(A),r(AE
ij
)=r(A),故
r(B)=r(E
ij
AE
ij
)=r(AE
ij
)=r(A)。
(3)由E
ij
AE
ij
=B说明了A
B。
(4)因E
ij
-1
=E
ij
,故E
ij
AE
ij
=E
ij
-1
AE
ij
=B,所以A~B。
(5)因E
ij
=E
ij
T
,故E
ij
AE
ij
=E
ij
T
AE
ij
=B,所以A
B。
因此,选项(D)正确。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/S7S4777K
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考研数学一
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