设f(x)在(-a，a)(a＞0)内连续，且f′(0)=2. (1)证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)]； (2)求

admin2022-08-19 27

问题设f(x)在(-a，a)(a＞0)内连续，且f′(0)=2.
(1)证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫₀^xf(t)dt+∫₀^-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)]；
(2)求

选项

答案(1)令F(x)=∫₀^xf(t)dt+∫₀^-xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜0＜1，使得F(x)=F(x)-F(0)=F′(θx)x，即 ∫₀^xf(t)dt+∫₀^-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)]. [*]

解析

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考研数学三

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