设平面区域D={(x，y)|x3≤y≤1，一1≤x≤1}，f(x)是定义在[一a，a](a≥1)上的任意连续函数，则[(x+1)f(x)+(x一1)f(一x)]dxdy=_______．

admin2020-05-16 78

问题设平面区域D={(x，y)|x³≤y≤1，一1≤x≤1}，f(x)是定义在[一a，a](a≥1)上的任意连续函数，则

[(x+1)f(x)+(x一1)f(一x)]dxdy=_______．

选项

答案0．

解析令F(x)=(x+1)f(x)+(x一1)f(一x)
则 F(一x)=(一x+1)f(一x)+(一x一1)f(x)
=一[(x一1)f(一x)+(x+1)f(x)]=一F(x)
即F(x)为奇函数

[(x+1)f(x)+(x一1)f(一x)]dxdy
=∫_-1¹[(x+1)f(x)+(x一1)f(一x)]dx

2ydy
=∫_-1¹(1一x⁶)F(x)dx=0
其中1一x⁶为偶函数，F(x)为奇函数，因此被积函数为奇函数，在对称区间上的积分为零．

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考研数学三

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