2. 考研
  3. 设3阶方阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，对应的特征向量p1＝(1，1，1)T，p2＝(1，2，4)T，p3＝(1，3，9)T．又向量β＝(1，1，3)T，求Anβ．

设3阶方阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，对应的特征向量p1＝(1，1，1)T，p2＝(1，2，4)T，p3＝(1，3，9)T．又向量β＝(1，1，3)T，求Anβ．

admin2020-06-05  15
问题 设3阶方阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，对应的特征向量p1＝(1，1，1)T，p2＝(1，2，4)T，p3＝(1，3，9)T．又向量β＝(1，1，3)T，求Anβ．
选项
答案方法一 将向量β用向量组p1，p2，p3线性表示，再根据特征向量的定义求解． 因为p1，p2，p3是A的对应于不同特征值的特征向量，所以向量组p1，p2，p3线性无关，向量β必可由向量组p1，p2，p3唯一线性表示．又 (p1，p2，p3，β)[*] 于是 β＝2p1－2p2＋p3用A左乘上式两边，并由pi是A的对应于特征值λi特征向量(i＝1，2，3)，因而有 Aβ＝2Ap1－2Ap2＋Ap3＝2λ1p1－2λ2p2＋λ3p3 A2β＝A(Aβ)＝A(2λ1p1－2λ2p2＋λ3 p3)＝2λ1Ap1－2λ2Ap2＋λ3Ap3 ＝2λ12p1－2λ22p2＋λ22p3 以此类推，可得 Anβ＝2λ1np1－2λ2np2＋3λnp3 ＝2p1－2n+1p2＋3np3 ＝[*] 方法二 利用矩阵A的相似对角阵，求矩阵A的高次幂． 因为矩阵A有3个相异的特征值，所以A必可对角化，记矩阵P＝(p1，p2，p3)，则P可逆，且P﹣1AP＝diag(1，2，3)＝[*]，即A＝P[*]P﹣1．于是An＝P[*]nP﹣1，从而Anβ＝P[*]nP﹣1β． 先利用初等行变换求出P﹣1β．由 [*] 得P﹣1β＝(2，﹣2，1)T，于是 Anβ＝[*]
解析
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考研数学一

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