设矩阵的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化．

admin2016-03-05 61

问题设矩阵

的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化．

选项

答案矩阵A的特征多项式为[*]如果λ=2是单根，则λ²—8λ+1 8+3a是完全平方，那么有18+3a=16，即[*]则矩阵A的特征值是2，4，4，而[*]，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化．如果λ=2是二重特征值，则将λ=0代入λ²一8λ+18+3a=0，则有18+3a=12，即a=一2?于是λ²一8λ+18+3a=(λ一2)(λ一6)，则矩阵A的特征值是2,2，6，而r(2E—A)=[*]故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化．

解析

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