2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]内二阶可导，g”(x)≠0，f(a)=g(a)=f(b)=g(b)=0，证明： 在(a，b)内g(x)≠0；

设函数f(x)，g(x)在[a，b]内二阶可导，g”(x)≠0，f(a)=g(a)=f(b)=g(b)=0，证明： 在(a，b)内g(x)≠0；

admin2022-06-04  72
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]内二阶可导，g”(x)≠0，f(a)=g(a)=f(b)=g(b)=0，证明：
在(a，b)内g(x)≠0；
选项
答案用反证法，假设存在c∈(a，b)使g(C)=0．则g(A)=g(C)=g(B)=0，g(x)在[a，b]上二阶可导．分别在[a，c]，[c，b]上运用罗尔定理，得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)．对g’(x)在(ξ1，ξ2)上再次运用罗尔定理，得至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2)，使g”(ξ)=0．这与已知g”(x)≠0矛盾，故在(a，b)内g(x)≠0．
解析
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考研数学三

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