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设函数f(x),g(x)在[a,b]内二阶可导,g”(x)≠0,f(a)=g(a)=f(b)=g(b)=0,证明: 在(a,b)内g(x)≠0;
设函数f(x),g(x)在[a,b]内二阶可导,g”(x)≠0,f(a)=g(a)=f(b)=g(b)=0,证明: 在(a,b)内g(x)≠0;
admin
2022-06-04
64
问题
设函数f(x),g(x)在[a,b]内二阶可导,g”(x)≠0,f(a)=g(a)=f(b)=g(b)=0,证明:
在(a,b)内g(x)≠0;
选项
答案
用反证法,假设存在c∈(a,b)使g(C)=0.则g(A)=g(C)=g(B)=0,g(x)在[a,b]上二阶可导.分别在[a,c],[c,b]上运用罗尔定理,得g’(ξ
1
)=g’(ξ
2
)=0,其中ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b).对g’(x)在(ξ
1
,ξ
2
)上再次运用罗尔定理,得至少存在一点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
),使g”(ξ)=0.这与已知g”(x)≠0矛盾,故在(a,b)内g(x)≠0.
解析
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考研数学三
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