设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则a1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是( ).

admin2013-08-30  44

问题 设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则a1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是(    ).

选项 A、λ1=0
B、λ2=0
C、λ1≠0
D、λ2≠0

答案D

解析 由题意可知A(a1+a2)=Aa1+Aa21a12a2,于是a1,A(a1+a2)线性无关k1a1+k2A(a1+a2)=0,k1,k2恒为0.
    (k11k2)a12k2a2=0,k1,k2恒为0.
又因为不同特征值的特征向量线性无关,故a1,a2线性无关,于是k1,k2恒为0.
齐次方程组只有零解故选(D).
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