设A=E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系； (Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

admin2019-04-17 67

问题设A=

E为3阶单位矩阵．
(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；
(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

选项

答案 (Ⅰ)对方程组的系数矩阵A施以初等行变换 [*] 设x=(x₁，x₂，x₃，x₄)^T，选取x₄为自由未知量，则得方程组的一般解：x₁=一x₄，x₂=2x₄，x₃=3x₄ (x₄任意)．令x₄=1，则得方程组Ax=0的一个基础解系为 α=(一1，2，3，1)^T (Ⅱ)对矩阵[A|E]施以初等行变换 [*] 记E=[e₁，e₂，e₃]，则方程组Ax=e₁的同解方程组为 [*] 从而得Ax=e₁的通解为x=k₁α+[*]，k₁为任意常数，同理得方程组Ay=e₂的通解为y=k₂α+[*]，k₂为任意常数，方程组Az=e₃的通解为z=k₃α+[*]，k₃为任意常数，于是得所求矩阵为[*]+[k₁α，k₂α，k₃α]或[*]k₁，k₂，k₃为任意常数.

解析本题综合考查初等行变换的基本运算、齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组的解的结构等基本概念．注意若记矩阵B、E按列分块分别为B= [x y z]，E= [e₁，e₂，e₃]，则AB=E的第1、2、3列分别是Ax=e₁，Ay=e₂，Az=e₃，因此求矩阵B等价于求解上述3个非齐次线性方程组，而具体求解时采取对矩阵[A|E]施以初等行变换(而不是分别对3个非齐次线性方程组的增广矩阵施以初等行变换)则减少了计算量．

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考研数学二

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