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已知矩阵A= (1)求A99. (2)设3阶矩阵B=(α1,α2,α3)满足B2=BA,记B=(β1,β2,β3)将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合.
已知矩阵A= (1)求A99. (2)设3阶矩阵B=(α1,α2,α3)满足B2=BA,记B=(β1,β2,β3)将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合.
admin
2020-09-25
63
问题
已知矩阵A=
(1)求A
99
.
(2)设3阶矩阵B=(α
1
,α
2
,α
3
)满足B
2
=BA,记B=(β
1
,β
2
,β
3
)将β
1
,β
2
,β
3
分别表示为α
1
,α
2
,α
3
的线性组合.
选项
答案
(1)利用相似对角化求解. 由|λE一A|=0,可得A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=-1,λ
3
=一2,故A~∧=[*] ①当λ
1
=0时,由(0E—A)x=0,解出此时A的属于特征值λ
1
=0的特征向量为γ
1
=[*] ②当λ
2
=一1时,由(-E一A)x=0,解出此时A的属于特征值λ
2
=一1的特征向量为γ
2
=[*] ③当λ
3
=一2时,由(-2E—A)x=0,解出此时A的属于特征值λ
3
=一2的特征向量为γ
3
=[*] 令P=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*],由P
-1
AP=A=[*]可得A=PAP
-1
,A
99
=PA
99
P
-1
. [*] (2)B
2
=BA[*]B
3
=BBA=B
2
A=BAA=BA
2
[*]B
100
=BA
99
,由于B=(α
1
,α
2
,α
3
),B
100
=(β
1
,β
2
,β
3
)故 (β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)A
99
[*] 因此,β
1
=(一2+2
99
)α
1
+(一2+2
100
)α
2
,β
2
=(1—2
99
)α
1
+(1—2
100
)α
2
,β
3
=(2—2
98
)α
1
+(2—2
99
)α
2
.
解析
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考研数学三
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