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已知f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且在(a，b)内存在相等的最大值，又设f(a)=g(a),f(b)=g(b)，试证明：存在ξ∈(a，b)使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。
已知f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且在(a，b)内存在相等的最大值，又设f(a)=g(a),f(b)=g(b)，试证明：存在ξ∈(a，b)使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。
admin
2016-03-16
87
问题
已知f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数，且在(a，b)内存在相等的最大值，又设f(a)=g(a),f(b)=g(b)，试证明：存在ξ∈(a，b)使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。
选项
答案
令φ(x)=f9x)一g(x)，根据f(a)=g(a),f(b)=g(b)，则有φ(a)=φ(b)=0。设x
1
，x
2
∈(a，b)，且[*]，已知f(x)和g(x)在(a，b)内存在相等的最大值，因此f(x
1
)=g(x
2
)，于是φ(x
1
)=f(x
1
)一g(x
1
)≥0，φ(x
2
)=f(x
2
)一g(x
2
)≤0。如果φ(x
1
)=0或φ(x
2
)=0，则令η=x
1
，或x
2
，有φ(η)=0；如果φ(x
1
)＞0，φ(x
2
)＜0，根据零点定理，存在η∈(x
1
，x
2
)，使得φ(η)=0。此时φ(x)在[a，b]上有3个不同的零点a，η，b，在区间[a，η]和[η，b]上分别应用罗尔定理，则存在ξ
1
∈(a，η)，ξ
2
∈(a，b)，满足φ’(ξ
1
)=φ’(ξ
2
)=0，再在[ξ
1
，ξ
2
]上继续应用罗尔定理可知，存在ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)[*](a，b)，使得φ’’(ξ)=0，即f’’(f)=g’’(ξ)。
解析
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考研数学三
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