2. 考研
  3. 设fn(x)=x+x2+…+xn，n=2，3，…． (1)证明：方程fn(x)=1在[0，+∞)有唯一实根xn； (2)求．

设fn(x)=x+x2+…+xn，n=2，3，…． (1)证明：方程fn(x)=1在[0，+∞)有唯一实根xn； (2)求．

admin2016-09-13  31
问题 设fn(x)=x+x2+…+xn，n=2，3，…．
(1)证明：方程fn(x)=1在[0，+∞)有唯一实根xn；
(2)求．
选项
答案(1)fn(x)连续，且fn(0)=0，fn(1)=n＞1，由介值定理，[*]xn∈(0，1)，使fn(xn)=1，n=2，3，…，又x＞0时，fˊn(x)=1+2x+…+nxn－1＞0，故fn(x)严格单增，因此xn是fn(x)=1在[0，+∞)内的唯一实根． (2)由(1)可得，xn∈(0，1)，n=2，3，…，所以｛xn｝有界． 又因为fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2，3，…，所以 xn+xn2+…+xnn=xn+1+xn+12+…+xn+1n+xn+1n+1， 即(xn+xn2+…+xnn)－(xn+1+xn+12+…+xn+1n)=xn+1n+1＞0，因此xn＞xn+1，n=2，3，…，即｛xn｝严格单调减少．于是由单调有界准则知[*]存在，记[*]=A，由xn+xn2+…+xnn=1得[*]=1．因为0＜xn＜x2＜1，所以[*]=0，于是[*]=1，解得A=[*]．
解析
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考研数学三

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