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设fn(x)=x+x2+…+xn,n=2,3,…. (1)证明:方程fn(x)=1在[0,+∞)有唯一实根xn; (2)求.
设fn(x)=x+x2+…+xn,n=2,3,…. (1)证明:方程fn(x)=1在[0,+∞)有唯一实根xn; (2)求.
admin
2016-09-13
45
问题
设f
n
(x)=x+x
2
+…+x
n
,n=2,3,….
(1)证明:方程f
n
(x)=1在[0,+∞)有唯一实根x
n
;
(2)求
.
选项
答案
(1)f
n
(x)连续,且f
n
(0)=0,f
n
(1)=n>1,由介值定理,[*]x
n
∈(0,1),使f
n
(x
n
)=1,n=2,3,…,又x>0时,fˊ
n
(x)=1+2x+…+nx
n-1
>0,故f
n
(x)严格单增,因此x
n
是f
n
(x)=1在[0,+∞)内的唯一实根. (2)由(1)可得,x
n
∈(0,1),n=2,3,…,所以{x
n
}有界. 又因为f
n
(x
n
)=1=f
n+1
(x
n+1
),n=2,3,…,所以 x
n
+x
n
2
+…+x
n
n
=x
n+1
+x
n+1
2
+…+x
n+1
n
+x
n+1
n+1
, 即(x
n
+x
n
2
+…+x
n
n
)-(x
n+1
+x
n+1
2
+…+x
n+1
n
)=x
n+1
n+1
>0,因此x
n
>x
n+1
,n=2,3,…,即{x
n
}严格单调减少.于是由单调有界准则知[*]存在,记[*]=A,由x
n
+x
n
2
+…+x
n
n
=1得[*]=1.因为0<x
n
<x
2
<1,所以[*]=0,于是[*]=1,解得A=[*].
解析
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考研数学三
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