设L是上半椭圆x2+4y2=1，y≥0，L1是四分之一椭圆x2+4y2=1，x≥0，y≥0，则( )

admin2019-05-12 33

问题设L是上半椭圆x²+4y²=1，y≥0，L₁是四分之一椭圆x²+4y²=1，x≥0，y≥0，则( )

选项 A、∫_L(x+y)ds=2∫_L₁(x+y)ds.
B、∫_Lxyds=2∫_L₁xyds．
C、∫_Lx²ds=2∫_L₁y²ds．
D、∫_L(x+y)²ds=2∫_L₁(x²+y²)ds．

答案D

解析由于积分曲线L关于y轴对称，所以
∫_Lxds=0， ∫_Lxyds=0，
∫_Lyds=2∫_L₁yds，∫_Lx²ds=2∫_L₁x²ds，∫_Ly²ds=2∫_L₁y²ds．
注意到∫_Lx²ds=2∫_L₁x²ds≠2∫_L₁y²ds=∫_Ly²ds，从而排除A、B、C，故应选D．事实上
∫_L(x+y)²ds=∫_L(x²+2xy+y²)ds=∫_L(x²+y²)ds+∫_L2xyds
=2∫_L₁(x²+y²)ds+0=2∫_L₁(x²+y²)ds．

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