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设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,F(t)=t∫01[f(tx)-f(x)]dx,则F(t)在(0,1)内( )
设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,F(t)=t∫01[f(tx)-f(x)]dx,则F(t)在(0,1)内( )
admin
2022-05-20
22
问题
设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,F(t)=t∫
0
1
[f(tx)-f(x)]dx,则F(t)在(0,1)内( )
选项
A、单调减少
B、单调增加
C、有极大值
D、有极小值
答案
C
解析
令tx=u,则当x=0时,u=0;当x=1时,u=t,dx=du/t,故
t∫
0
1
f(tx)dx=t∫
0
t
f(u)·1/t·du=∫
0
t
f(u)du,
从而
F(t)=∫
0
t
f(u)du-t∫
0
1
f(x)dx,
于是
F’(t)=f(t)-∫
0
1
f(x)dx.
由积分中值定理,可知存在一点ξ∈(0,1),使得∫
0
1
f(x)dx=f(ξ),故
F’(t)=f(t)-f(ξ).
又由闭区间上连续函数的零点定理,可知必有一点t
0
=ξ∈(0,1),使得
F’(t
0
0)-f(ξ)=0.
当t>t
0
时,因为f(x)单调减少,所以f(t)<f(t
0
),从而F’(t)<0.
当t<t
0
时,有F’(t)>0.故t
0
为F(x)的极大值点.C正确.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UUR4777K
0
考研数学三
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