设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,F(t)=t∫01[f(tx)-f(x)]dx,则F(t)在(0,1)内( )

admin2022-05-20  22

问题 设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,F(t)=t∫01[f(tx)-f(x)]dx,则F(t)在(0,1)内(          )

选项 A、单调减少
B、单调增加
C、有极大值
D、有极小值

答案C

解析 令tx=u,则当x=0时,u=0;当x=1时,u=t,dx=du/t,故
t∫01f(tx)dx=t∫0tf(u)·1/t·du=∫0tf(u)du,
从而
    F(t)=∫0tf(u)du-t∫01f(x)dx,
于是
    F’(t)=f(t)-∫01f(x)dx.
    由积分中值定理,可知存在一点ξ∈(0,1),使得∫01f(x)dx=f(ξ),故
    F’(t)=f(t)-f(ξ).
又由闭区间上连续函数的零点定理,可知必有一点t0=ξ∈(0,1),使得
    F’(t00)-f(ξ)=0.
    当t>t0时,因为f(x)单调减少,所以f(t)<f(t0),从而F’(t)<0.
    当t<t0时,有F’(t)>0.故t0为F(x)的极大值点.C正确.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UUR4777K
0

最新回复(0)