2. 考研
  3. (1999年)设X1，X2，…，X9是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=(X1+X2+…+X6)，Y2=(X7+X8+X9)，S2=(Xi-Y2)2，Z=，证明统计量Z服从自由度为2的t分布。

(1999年)设X1，X2，…，X9是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=(X1+X2+…+X6)，Y2=(X7+X8+X9)，S2=(Xi-Y2)2，Z=，证明统计量Z服从自由度为2的t分布。

admin2018-04-23  68
问题 (1999年)设X1，X2，…，X9是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=(X1+X2+…+X6)，Y2=(X7+X8+X9)，S2=(Xi-Y2)2，Z=，证明统计量Z服从自由度为2的t分布。
选项
答案由于X2，…，X9是来自总体X的简单随机样本，故X1，…，X9独立。 设X～N(u，σ2)，则X1，…，X9～N(u，σ2)，又因为服从正态分布的独立随机变量其线性组合也服从正态分布，则 Y1=[*](X1+X2+…+X6)～N(u’，σ’2／6)， 其中 u’=E(Y1)=E[ [*](X1+X2+…+X6)] =[*][E(X1)+E(X2)++E(X6)]=[*]=u， σ’2=D(Y1)=D[ [*](X1+X2+…+X6)]=[*](X1+X2+…+X6) 故 Y1～N(u，σ2／6) 同理，因为Y2=[*](X7+X8+X9)，所以Y2～N(u，σ2／3)。 又由于Y1，Y2独立，且都服从正态分布，故Y1-Y2也服从正态分布，其期望方差分别为： E(Y1-Y2)=E(Y1)-E(Y2)=u-u=0，D(Y1-Y2)=D(Y1)+D(Y2)=σ2／6+σ2／3=σ2／2， 得 Y1～Y2～N(0，σ2／2)， 将Y1-Y2标准化得 [*] 由正态总体样本方差的性质：[(n-1)S2]／σ2～χ2(n-1)～χ2(2)，因S2与Y2独立(由于样本方差与样本均值独立)。 而Y1与S2独立，故U=[*]独立。所以由t分布的定义有： [*] 化简上式 [*]
解析
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考研数学三

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