设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0.求证:如果f(x)在(0,1)内不恒等于零,则必存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)f’(ξ)>0.

admin2018-06-14  34

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0.求证:如果f(x)在(0,1)内不恒等于零,则必存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)f’(ξ)>0.

选项

答案因f(ξ)f’(ξ)>0 → [[*]f2(x)]’|x=ξ>0,结合f(0)=0,故只需考[*]f2(x)是否在(0,1]上有取正值的点. 因f(x)在(0,1)上不恒等于零,从而必存在x0∈(0,1)使f(x0)≠0,即[*]f2(x0)>0.设F(x)=[*]f(x),则F(x)在[0,x0]上连续,在(0,x0]内可导,且F(0)=0,F(x0)>0.由拉格朗日中值定理知[*](0,1),使 [*]

解析
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