2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0．求证：如果f(x)在(0，1)内不恒等于零，则必存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)f’(ξ)＞0．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0．求证：如果f(x)在(0，1)内不恒等于零，则必存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)f’(ξ)＞0．

admin2018-06-14  56
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0．求证：如果f(x)在(0，1)内不恒等于零，则必存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)f’(ξ)＞0．
选项
答案因f(ξ)f’(ξ)＞0 → [[*]f2(x)]’｜x=ξ＞0，结合f(0)=0，故只需考[*]f2(x)是否在(0，1]上有取正值的点． 因f(x)在(0，1)上不恒等于零，从而必存在x0∈(0，1)使f(x0)≠0，即[*]f2(x0)＞0．设F(x)=[*]f(x)，则F(x)在[0，x0]上连续，在(0，x0]内可导，且F(0)=0，F(x0)＞0．由拉格朗日中值定理知[*](0，1)，使 [*]
解析
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考研数学三

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