2. 考研
  3. 根据已知条件，进行作答。 设f(x)在[a,b]上连续，证明(∫abf(x)dx)2≤(b－a)∫abf2(x)dx.

根据已知条件，进行作答。 设f(x)在[a,b]上连续，证明(∫abf(x)dx)2≤(b－a)∫abf2(x)dx.

admin2022-10-08  48
问题 根据已知条件，进行作答。
设f(x)在[a,b]上连续，证明(∫abf(x)dx)2≤(b－a)∫abf2(x)dx.
选项
答案令F(x)=(∫axf(t)dt)2－(x－a)∫axf2(t)dt,因为 F’(x)=2∫axf(t)dt·f(x)－∫axf2(t)dt－(x－a)f2(x) =∫ax2f(x)f(t)dt－∫axf2(t)dt－∫axf2(x)dt =－∫ax[f(t)－f(x)]2dt≤0 所以F(x)单调递减，x∈[a,b]，又F(a)=0,则F(b)≤F(a)=0. 故(∫abf(x)dx)2≤(b－a)∫abf2(x)dx
解析
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考研数学三

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