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根据已知条件,进行作答。 设f(x)在[a,b]上连续,证明(∫abf(x)dx)2≤(b-a)∫abf2(x)dx.
根据已知条件,进行作答。 设f(x)在[a,b]上连续,证明(∫abf(x)dx)2≤(b-a)∫abf2(x)dx.
admin
2022-10-08
49
问题
根据已知条件,进行作答。
设f(x)在[a,b]上连续,证明(∫
a
b
f(x)dx)
2
≤(b-a)∫
a
b
f
2
(x)dx.
选项
答案
令F(x)=(∫
a
x
f(t)dt)
2
-(x-a)∫
a
x
f
2
(t)dt,因为 F’(x)=2∫
a
x
f(t)dt·f(x)-∫
a
x
f
2
(t)dt-(x-a)f
2
(x) =∫
a
x
2f(x)f(t)dt-∫
a
x
f
2
(t)dt-∫
a
x
f
2
(x)dt =-∫
a
x
[f(t)-f(x)]
2
dt≤0 所以F(x)单调递减,x∈[a,b],又F(a)=0,则F(b)≤F(a)=0. 故(∫
a
b
f(x)dx)
2
≤(b-a)∫
a
b
f
2
(x)dx
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/W4R4777K
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考研数学三
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