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  3. 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，x∈(-∞，+∞)，记Y=｜X｜，EX存在，则X与Y( )

设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，x∈(-∞，+∞)，记Y=｜X｜，EX存在，则X与Y( )

admin2022-04-27  40
问题 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，x∈(-∞，+∞)，记Y=｜X｜，EX存在，则X与Y(          )
选项 A、不相关且独立．
B、相关且不独立．
C、不相关且不独立．
D、相关且独立．
答案C
解析 由f(x)是偶函数，知EX=∫-∞+∞xf(x)dx=0，且
E(XY)=E(X｜X｜)=∫-∞+∞x｜x｜f(x)dx=0，
故E(XY)=EX·EY，即X与Y不相关．
又由f(x)是偶函数，知存在x0＞0，使得当P{X＜x0}＜1时，有
{Y＜x0)={｜X｜＜x0}{X＜x0}，
故
P{X＜x0，Y＜x0}=P{Y＜x0)，
P{X＜x0}·P{Y＜x0}＜P{Y＜x0}，
从而
P{X＜x0}，Y＜x0}≠P{X＜x0}·P{Y＜x0)，
即X与Y不独立．C正确．
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考研数学三

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