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设f(x)在[a,+∞)上可导,且当x>a时,f’(x)<k<0(k为常数)。 证明:如果f(a)>0,则方程f(x)=0在区间上有且仅有一个实根。
设f(x)在[a,+∞)上可导,且当x>a时,f’(x)<k<0(k为常数)。 证明:如果f(a)>0,则方程f(x)=0在区间上有且仅有一个实根。
admin
2019-08-09
47
问题
设f(x)在[a,+∞)上可导,且当x>a时,f’(x)<k<0(k为常数)。
证明:如果f(a)>0,则方程f(x)=0在区间
上有且仅有一个实根。
选项
答案
证一 根据定积分的保序性,在不等式f’(x)<k的两端从a到x积分,得到 ∫
a
x
f’(t)dt<∫
a
x
kdt=k(x-a) , 即 f(x)-f(a)<k(x-a), 亦即 f(x)<f(a)+k(x-a)(x>a)。 ① 令f(a)+k(x-a)=0,解得x=x
0
=a-f(a)/k,在式①中令x=x
0
得到f(x
0
)<0。 又f(a)>0,由零点定理知,f(x)=0在(a,x
0
)=(a,a-f(a)/k)内有实数根。 再由f’(x)<0(x>a),且f(x)在x≥a处连续知,f(x)在[a,a-f(a)/k]上单调减少,故方程f(x)=0在该区间只有一个实根。 证二 下用拉格朗日中值定理找出点x
0
,使f(x
0
)<0。由题设知,f(x)在[a,a-f(a)/k]上满足拉格朗日中值定理条件,故有 [*] 其中a<ξ<a-f(a)/k,因f’(x)<k<0,故f’(x)/k>1,因而由式②得到 [*] 于是所找的点即为x
0
=a-f(a)/k。 下面的证明与证一相同。
解析
[证题思路] 用零点定理证之,需找另一点x
0
,使f(x
0
)<0。下面用定积分性质找出x
0
,也可用拉格朗日中值定理找出x
0
,使f(x
0
)<0。
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考研数学一
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