已知n(n≥3)阶实矩阵A=(aij)n×n满足条件：aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是aij的代数余子式；a11≠0．求|A|．

admin2020-03-10 87

问题已知n(n≥3)阶实矩阵A=(a_ij)_n×n满足条件：a_ij=A_ij(i，j=1，2，…，n)，其中A_ij是a_ij的代数余子式；a₁₁≠0．求|A|．

选项

答案由已知a_ij=A_ij，所以A*=A^T，且 AA*=AA^T=|A|E．两边取行列式得 |AA^T|—|A|²=||A|E|=|A|ⁿ，从而 |A|^n-2=1或|A|=0．由a₁₁≠0，可知 |A、=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+…+a_1nA_1n=a₁₁²+a₁₂²+…a_1n²＞0，于是|A|=1．

解析

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