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已α1=(1,一2,1,0,0),α2=(1,一2,0,1,0),α3=(0,0,1,一1,0),α4=(1,一2,3,一2,0)是线性方程组 的解向量,问α1,α2,α3,α4是否构成此方程组的基础解系,假如不能,是多了还是少了?若多了,如何去除?若少
已α1=(1,一2,1,0,0),α2=(1,一2,0,1,0),α3=(0,0,1,一1,0),α4=(1,一2,3,一2,0)是线性方程组 的解向量,问α1,α2,α3,α4是否构成此方程组的基础解系,假如不能,是多了还是少了?若多了,如何去除?若少
admin
2017-07-26
67
问题
已α
1
=(1,一2,1,0,0),α
2
=(1,一2,0,1,0),α
3
=(0,0,1,一1,0),α
4
=(1,一2,3,一2,0)是线性方程组
的解向量,问α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是否构成此方程组的基础解系,假如不能,是多了还是少了?若多了,如何去除?若少了,如何补充?
选项
答案
对方程组的系数矩阵作初等行变换如下 [*] 知r(A)=2,因未知量个数n=5,故基础解系应由n一r(A)=5—2=3个线性无关解向量组成, 将行向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
作初等行变换如下: [*] 得r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=2.α
1
,α
2
是极大线性无关组. 从而知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
不能构成基础解系,应去除α
1
,α
2
,α
3
,α
4
中线性相关的向量(这里应去除α
3
,α
4
),保留极大线性无关组α
1
,α
2
,并补充一个线性无关解向量. 由方程组的系数矩阵A的等价阶梯形矩阵及已知的解向量α
1
,α
2
知,补充一个线性无关 解向量β,应取自由未知量为(0,0,1)(使与α
1
,α
2
线性无关)代入阶梯形矩阵,得β=(5,一6,0,0,1),从而α
1
,α
2
,β是方程组的基础解系.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WrH4777K
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考研数学三
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