设fn(χ)＝Cn1cosχ－Cn2cos2χ＋…＋(－1)n-1Cnncosnχ，证明：对任意自然数n，方程fn(χ)＝在区间(0，)内有且仅有一个根．

admin2021-11-09 57

问题设f_n(χ)＝C_n¹cosχ－C_n²cos²χ＋…＋(－1)^n-1C_nⁿcosⁿχ，证明：对任意自然数n，方程f_n(χ)＝

在区间(0，

)内有且仅有一个根．

选项

答案由f_n(χ)＝C_n¹cosχ－C_n²cos²＋…＋(－1)^n-1cosⁿχ得 f_n(χ)＝1－(1－cosχ)ⁿ，令g(χ)＝f_n(χ)－[*]－(1－cosχ)ⁿ， [*] 由零点定理，存在c∈(0，[*])，使得g(c)＝0，即方程f_n(χ)＝[*]在(0，[*])内至少要有一个根．因为g′(χ)＝－n(1－cosχ)^n-1.sinχ＜0(0＜χ＜[*])，所以g(χ)在(0，[*])内有唯一的零点，从而方程f_n(χ)＝[*]在(0，[*])内有唯一根．

解析

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考研数学二

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