2. 考研
  3. 设有旋转抛物面S：z＝(χ2，y2)与平面П：2χ＋2y＋z＋6＝0，P0(χ0，y0，z0)是S上与平面П距离最近的点． (Ⅰ)求点P0及S与П的最短距离； (Ⅱ)、求S存P0、点的法线．并证明它与平面П垂直．

设有旋转抛物面S：z＝(χ2，y2)与平面П：2χ＋2y＋z＋6＝0，P0(χ0，y0，z0)是S上与平面П距离最近的点． (Ⅰ)求点P0及S与П的最短距离； (Ⅱ)、求S存P0、点的法线．并证明它与平面П垂直．

admin2018-06-12  28
问题 设有旋转抛物面S：z＝(χ2，y2)与平面П：2χ＋2y＋z＋6＝0，P0(χ0，y0，z0)是S上与平面П距离最近的点．
    (Ⅰ)求点P0及S与П的最短距离；
    (Ⅱ)、求S存P0、点的法线．并证明它与平面П垂直．
选项
答案(Ⅰ)化为求解条件最值问题．设P(χ，y，z)为S上[*]点，P到П的距离 d＝[*]｜2χ＋2y＋z＋6｜． 求d存条件χ2＋y2－2z＝0下的最小值[*]求9d2＝(2χ＋2y＋z＋6)2在条件χ2＋y2－2z＝0下的最小值．用拉格朗日乘子法，令 F(χ，y，z，λ)＝(2χ＋2y＋z＋6)2＋λ(χ2＋y2－2z)， 解方程组[*]＝4(2χ＋2y＋z＋6)＋2λχ＝0， ① [*]＝4(2χ＋2y＋z＋6)＋2λy＝0， ② [*]＝2(2χ＋2y＋z＋6)－2A＝0， ③ [*]＝χ2＋y2－2z＝0． ④ 由①，②，当λ≠0时得χ＝y，代入②，③，④得 [*] 进一步解得 [*] 于是得χ＝y＝－2，z＝4． 另λ＝0时，对应[*]显然无解． 因此得唯一驻点P0(－2，－2，4)．由于实际问题存在最小值，该P0点就是S上与П距离最近的点．P0点到П的距离d＝[*]｜2.(－2)＋2.(－2)＋4＋6｜＝[*]． 就是旋转抛物面S到平面П的最短距离． (Ⅱ)旋转抛物面S：χ2＋y2－2z＝0上[*]点(χ，y，z)处的法向量为(2χ，2y，－2)，S在点P0处的法向量η1＝－2(2，2，1)，П的法向量露η2＝(2，2，1)，η1∥η2因此S在P0的法线[*]与П垂直．
解析
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考研数学一

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