设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2019-03-22 75

问题设向量α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

选项

答案证一设有一组数k₁，k₂，k₃，…，kα_t，使得[*]即 [*] 因已知Aβ≠0，为利用此条件，用A左乘上式两边得 [*] 因为Aβ≠0，所以 [*] 下面利用向量组α₁，α₂，…，α_t的线性无关性证明待证的向量组线性无关．由式①和式②得到 [*] 由于α₁，α₂，…，α_t是AX=0的一个基础解系，故该向量组线性无关，必有k₁=k₂=…=k_t=0，于是[*]因此，向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．证二下面用向量组秩的性质证明．因向量组的秩经初等变换不变，则 [*] 于是秩(β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t])=秩(β，α₁，α₂，…，α_t])．因α₁，α₂，α_t为AX=0的基础解系，故线性无关．而β又不能由α₁，α₂，…，α_t线性表出．事实上，如果β=k₁α₁+…+k₁α_t，则 Aβ=A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_tα_t)=k₁α₁+k₂Aα₂+…+k_tAα_t=0．这与Aβ≠0矛盾，故β不能由α₁，α₂，…，α_t线性表出．所以α₁，α₂，…，α_t，β线性无关，即向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

解析

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考研数学三

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设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

考研数学三

设A是秩为n一1的n阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是（）

设g（x）=∫0xf（u）du，其中f（x）=则g（x）在区间（0，2）内（）

设f（x）在（一∞，+∞）可导，x0≠0，（x0，f（x0））是y=f（x）的拐点，则（）

幂级数的收敛半径R=________。

设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f’（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。

设f（x）在（一∞，+∞）内有定义，且对于任意x与y均有f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，又设f’（0）存在且等于a（a≠0），试证明对任意x，f’（x）都存在，并求f（x）。

设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A—B，则下列命题中①AB～BA；②A2～B2；③A2～BT；④A—1～B—1。正确的个数为（）

设正项数列{an}单调递减，且（一1）nan发散，试问级数是否收敛?并说明理由。

设数列{xn}满足：x1＞0，(n=1，2，…)．证明：{xn}收敛，并求

宗教不是下列哪一战争的原因?()

对癌症疼痛的病人应用镇痛药的原则哪项是错误的

现行关税规定，对进出口货物的补税和退税，适用该进出口货物原申报进口或者出口之日所实施的税率，但下列情况除外的有(　　)。

社会保障资金的筹资方式主要有()。

居民身份证及其他人口证件的签发和验证工作属于抬安行政管理工作中的一项内容。(　　)

民族区域自治是中国共产党解决民族问题的基本政策，是国家的一项基本政治制度。实行这种制度体现了

A、Theystareatthewalls.B、Theycollectstamps.C、Theyattendeveningclasses.D、Theydowhatevertheyareinterestedin.D

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