2. 考研
  3. 设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，又α＝(1，－l，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵． (I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，又α＝(1，－l，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵． (I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

admin2020-05-16  43
问题 设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，又α＝(1，－l，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．
(I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵B．
选项
答案(I)容易验证Anα1＝λ1nα1(n＝1，2，3，…)，于是Bα1＝(A5＋4A3＋E)α1＝(λ15－4λ13＋1)α1＝－2α1． 于是－2是矩阵B的特征值，k1α1是B属于特征值－2的全部特征向量(k1∈R，非零)．同理可求得矩阵B的另外两个特征值1，1． 因为A为实对称矩阵，则B也为实对称矩阵，于是矩阵B属于不同特征值的特征向量正交．设B的属于1的特征向量为(x1，x2，x3)T，则有方程x1－x2＋x3=0．于是求得B的属于1的全部特征向量为β＝k2α2＋k3α3，其中α2＝(－1，0，1)T，α3＝(1，1，0)T，k2，k3∈R，不全为零．
解析
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考研数学三

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