证明：二次型f（x）=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

admin2017-12-29 78

问题证明：二次型f（x）=x^TAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

选项

答案A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得 QAQ^—1=diag（λ₁，λ₂，…，λ_n）=A，其中λ₁，λ₂，…，λ_n为A的特征值，不妨设A。最大。作正交变换y=Qx，即x=Q^—1y=Q^Ty，则 f=x^TAx=y^TQAQ^Ty=y^TΛy=λ₁y₁²+λ₂y₂²+…+λ₂y_n²，因为y=Qx，所以当||x||=1时，有 ||x||²=x^Tx=y^TQQ^Ty=||y||²=1，即 y₁²+y₂²+…+y_n²=1。因此 f=λ₁y₁²+λ₂y₂²+…+λ₂y_n²≤λ₁（y₁²+y₂²+…+y_n²）=λ₁。又当y₁=1，y₂=y₃=…=y₃=0时，f=λ₁，所以f_max=λ₁。

解析

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