(2001年)设函数f(χ)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且其反函数为g(χ)．若 ∫0f(χ)g(t)dt＝χ2eχ 求f(χ)．

admin2016-05-30 50

问题 (2001年)设函数f(χ)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且其反函数为g(χ)．若
∫₀^f(χ)g(t)dt＝χ²e^χ
求f(χ)．

选项

答案等式两边对χ求导得 g[f(χ)]f′(χ)＝2χe^χ＋χ²e^χ 而g[f(χ)]＝χ，故 χf′(χ)＝2χe^χ＋χ²e^χ 当χ≠0时，f′(χ)＝2e^χ＋χe^χ 积分得f(χ)＝(χ＋1)e^χ＋C f(0)＝[*][(χ＋1)e^χ＋C]＝1＋C＝0，则C＝－1 因此f(χ)＝(χ＋1)e^χ－1

解析

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