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设γ1,γ2,…,γt和η1,η2…ηs分别是Ax=0和Bx=0的基础解系.证明:Ax=0和Bx=0有非零公共解的充要条件是γ1,γ2,…,γt,η1,η2,…,ηs线性相关.
设γ1,γ2,…,γt和η1,η2…ηs分别是Ax=0和Bx=0的基础解系.证明:Ax=0和Bx=0有非零公共解的充要条件是γ1,γ2,…,γt,η1,η2,…,ηs线性相关.
admin
2018-09-20
48
问题
设γ
1
,γ
2
,…,γ
t
和η
1
,η
2
…η
s
分别是Ax=0和Bx=0的基础解系.证明:Ax=0和Bx=0有非零公共解的充要条件是γ
1
,γ
2
,…,γ
t
,η
1
,η
2
,…,η
s
线性相关.
选项
答案
充分性 由γ
1
,γ
2
,…,γ
t
,η
1
,η
2
,…,η
s
线性相关,知存在不全为零的一组数k
1
,k
2
,…, k
t
,l
1
,l
2
,…,l
s
,使得 k
1
γ
1
+k
2
γ
2
+…+k
t
γ
t
+…+k
t
γ
t
+l
1
η
1
+l
2
η
2
+…+l
s
η
s
=0. 令ξ=k
1
γ
1
+k
2
γ
2
++…+k
t
γ
t
,则ξ≠0(否则k
1
,k
2
,…,k
t
,l
1
,l
2
,…,l
s
全为0),且ξ=-l
1
η
1
-l
2
η
2
一…-l
s
η
s
, 即非零向量ξ既可由γ
1
,γ
2
,…,γ
t
表示,也可由η
1
,η
2
,…,η
s
表示,所以Ax=0和Bx=0有非零公共解. 必要性 若Ax=0和Bx=0有非零公共解,假设为ξ≠0,则ξ=k
1
γ
1
+k
2
γ
2
+…+k
t
γ
t
,且 ξ=-l
1
η
1
一l
2
η
2
-…一l
s
η
s
,于是,存在k
1
,k
2
,…,k
t
不全为零,存在l
1
,l
2
,…,l
s
不全为零,使得 k
1
γ
1
+k
2
γ
2
+…+k
t
γ
t
+l
1
η
1
+l
2
η
2
+…+l
s
η
s
=0. 从而γ
1
,γ
2
,…,γ
t
,η
1
,η
2
,…,η
s
线性相关.
解析
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考研数学三
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