设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且ef(x)arctanxdx=1，f(1)=ln2，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得 (1+ξ2)f’(ξ)arctanξ=一1．

admin2017-07-26 51

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且

e^f(x)arctanxdx=1，f(1)=ln2，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得
(1+ξ²)f’(ξ)arctanξ=一1．

选项

答案令F(x)=e^f(x)arctanx．由已知条件，F(1)=e^f(x)arctan1=[*]e^f(x)arctanxdx=1．由积分中值定理，存在点η∈[0，[*]．于是，F(x)在[η，1]上连续，在(η，1)内可导，由洛尔定理，存在点ξ∈(η，1)[*](0，1)，使得F’(ξ)=0，即(1+ξ²)f’(ξ)arctanξ=一1．

解析

所以，可作辅助函数F(x)=e^f(x)arctanx，用洛尔定理证明．

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考研数学三

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．
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