2. 考研
  3. [2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O．若考ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( )．

[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O．若考ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( )．

admin2021-01-25  47
问题 [2004年]  设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O．若考ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系(    )．
选项 A、不存在
B、仅含一个非零解向量
C、含有两个线性无关的解向量
D、含有三个线性无关的解向量
答案B
解析 解一  当A*≠O时，秩(A*)≠0．因而秩(A*)=n或秩(A*)=1．于是秩(A)=n或秩(A)=n-1．由题设知AX=b有四个互不相等的解，因而解不唯一，于是秩(A)=n-1．因而其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．
    解二  因A*≠O，故秩(A*)≥1，则秩(A)≥n-1．又因AX=0有解且不唯一，故秩(A)≤n－1．因而秩(A)=n-1．其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．
        解三  因A*≠o，故A*中至少有一个元素Aij=(－1)i+jMij≠0，即A的元素aij的余子式Mij≠0，而Mij为A的n一1阶子行列式，故秩(A)≥n一1．
    又由AX=b有解且不唯一，有秩(A)≤n－1＜n，故秩(A)=n－1，于是AX=0的一个基础解系所含解向量的个数为n－秩(A)=n－(n－1)=1．仅(B)入选．
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考研数学三

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