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设f(x)在[0,a](a>0)上可导,f(0)=0,f(a)=a2,且当x∈(0,a)时,f(x)≠ax,证明:存在一点ξ∈(0,a),使得f’(ξ)>a.
设f(x)在[0,a](a>0)上可导,f(0)=0,f(a)=a2,且当x∈(0,a)时,f(x)≠ax,证明:存在一点ξ∈(0,a),使得f’(ξ)>a.
admin
2022-05-20
66
问题
设f(x)在[0,a](a>0)上可导,f(0)=0,f(a)=a
2
,且当x∈(0,a)时,f(x)≠ax,证明:存在一点ξ∈(0,a),使得f’(ξ)>a.
选项
答案
由f(x)≠ax,知存在一点x
1
∈(0,a),使得f(x
1
)≠ax
1
.令φ(x)=f(x)ax,则φ’(x)=f’(x)-a. 若f(x
1
)>ax
1
,则φ(x
1
)=f(x
1
)-ax
1
>0.又φ(0)=0,在[0,x
1
]上对φ(x)应用拉格朗日中值定理,有 [φ(x
1
)-φ(0)]/(x
1
-0)=φ(x
1
)/x
1
=φ’(ξ)>0,ξ∈(0,x
1
)[*](0,a), 即f’(ξ)>a. 若f(x
1
)<ax
1
,则-f(x
1
)>-ax
1
,又φ(a)=f(a)-a
2
=0,在[x
1
,a]上对φ(x) 应用拉格朗日中值定理,有 [φ(a)-φ(x
1
)]/(a-x
1
)=[0-f(x
1
)+ax
1
]/(a-x
1
)=φ’(ξ),ξ∈(x
1
,a)[*](0,a), 且a-x
1
>0,故φ’(ξ)>0,从而f’(ξ)>a.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZUR4777K
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考研数学三
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