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  3. 设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．

设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．

admin2022-11-07  56
问题 设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．
选项
答案首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη0≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k0使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+k0η0=0，若k0=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=kn-r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn-r，线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη0=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0，线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n-r(AB)≥n-r+1，r(AB)≤r-1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．
解析
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考研数学三

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