(2006年)在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)． Ⅰ)求L的方程； (Ⅱ)当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值．

admin2019-05-11 54

问题 (2006年)在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)．
Ⅰ)求L的方程；
(Ⅱ)当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为

时，确定a的值．

选项

答案(Ⅰ)依题意得 [*] 求得其通解为 [*] 将x=1，y=0代入上式得C=一a．从而L的方程为y=ax²一ax． (Ⅱ)L与直线y=ax的交点坐标为(0，0)和(2，2a)，那么L与直线y=ax围成平面图形的面积 S(a)=∫₀²(ax一ax²+ax)dx=∫₀²(2ax一ax²)dx=[*] 于是由题设知 [*] 从而a=2．

解析

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考研数学三

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(2006年)在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)． Ⅰ)求L的方程； (Ⅱ)当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值．

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