2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(－1，2，－1)T，α2=(0，－1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． 求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A；

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(－1，2，－1)T，α2=(0，－1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． 求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A；

admin2019-07-16  61
问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(－1，2，－1)T，α2=(0，－1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．
求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A；
选项
答案1 对α1，α2正交化．令ξ1=α1=(－1，2，－1)T ξ2=α2－[*]ξ1=1／2(－1，0，1)T 再分别将ξ1，ξ2，α3单位化，得 [*] 那么Q为正交矩阵，且QTAQ=A． 2 由于A只有一个重特征值λ1=λ2=0，故要求A的3个两两正交的特征向量，只须求出A的属于二重特征值0的两个相互正交的特征向量即可．由于 ξ2=α1+2α2=(－1，2，－1)T+2(0，－1，1)T=(－1，0，1)T 也是A的属于特征值0的特征向量，且α1⊥ξ2，故 ξ1=α1=(－1，2，－1)T，ξ2=(－1，0，1)T，ξ3=α3=(1，1，1)T 就是A的3个两两正交的特征向量(分别属于特征值0，0，3)，再将它们单位化，即令ej=ξj／‖ξj‖(j=1，2，3)， 则所求的正交矩阵Q可取为Q=[e1 e2 e3]，且有QTAQ=diag(0，0，3)，以下具体求解同解1． 3 由实对称矩阵的性质，知A的属于特征值λ1=λ2=0的特征向量ξ=(x1，x2，x3)T与属于特征值λ3=1的特征向量α3=(1，1，1)T正交，即 x1+x2+x3=0 求解此齐次方程，得其基础解系——即属于λ1=λ2=0的两个线性无关特征向量为 ξ1=(－1，1，0)T，ξ2=(1，1，－2)T ξ1与ξ2已经正交，故ξ1，ξ2，α3为A的3个两两正交的特征向量，再将它们单位化，便得所求的正交矩阵可取为 [*] 且使QTAQ=diag(0，0，3)．
解析
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考研数学三

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