设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj．记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X

admin2019-07-16 44

问题设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A_ij是A=(a_ij)_n×n中元素a_ij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=

x_ix_j．
记X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，把f(x₁，x₂，…x_n)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A^－1．

选项

答案因为A为对称矩阵，所以A_ij=A_ji(i，j=1，2，…n)．因此f(X)的矩阵形式为 [*] 因秩(A)=n，故A可逆，且 A^－1=1／|A|A^* 从而 (A^－1)^T=(A^T)^－1=A^－1 故A^－1也是实对称矩阵．因此．二次型f(X)的矩阵为 [*] =1／|A|A^*=A^－1

解析

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考研数学三

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